​三数和平方公式及其运用：已知a/x+b/y+c/z=0，x/a+y/b+z/c=1┄

三数和平方公式及其运用：已知a/x+b/y+c/z=0，x/a+y/b+z/c=1┄

与两数和平方公式(a+b)^2=a^2+b^2+2ab一样，三数和平方公式指的是如下公式：

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac.

公式表明：三数和的平方等于这三数的平方和，再加上这三数两两乘积的两倍。

这个公式又可以变形为：

a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)，

或2(ab+bc+ac) = (a+b+c)^2-( a^2+b^2+c^2).

有关三数和平方或三数平方和问题直接运用这个公式求解较为简便.请看：

例1 已知非零实数a、b、c及x、y、z满足

a/x+b/y+c/z=0及

x/a+y/b+z/c=1，

求x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2的值。

分析：首先，根据三数和平方公式，将求值式化为三数和平方及两两乘积的两倍。再结合已知条件进行变形整理。

解：x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2

= (x/a+y/b+z/c)^2- 2(x/a·y/b+y/b·z/c+z/c·x/a)

=1-2(cxy+ayz+bxz)/abc。

因为a/x+b/y+c/z=0，

所以ayz+bxz+cxy=0，

所以(cxy+ayz+bxz)/abc=0，

所以x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2

=1-2×0=1.

本题如果采用换元法，则解法更清晰简便。

设x/a=p，y/b=q，z/c=r，则

1/p+1/q+1/r=0，

p+q+r=1，

所以p^2+q^2+r^2

=(p+q+r)^2-2(pq+qr+rp)

=1-2(pq+qr+rp)；

由1/p+1/q+1/r=0，去分母，得

pq+qr+rp=0，

所以p^2+q^2+r^2=1-2×0=1.

即x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1.

例2 已知实数a，b，c满足a^2+b^2+c^2=1，求(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2的最大值.

分析：首先，我们容易想到的做法是运用两数和的平方公式将(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2进行变形，整理出a^2+b^2+c^2的式子后替换为已知的1，遇到2(ab+bc+ac)时用(a+b+c)^2-( a^2+b^2+c^2)替换，此时既可以利用已知的a^2+b^2+c^2=1，又能利用(a+b+c)^2的最小值为0.

解：(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2

= 2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ac)，

=2×1- (a-b)^2-[ (a+b+c)^2-( a^2+b^2+c^2)]

=2-[ (a+b+c)^2-1]

=3-(a+b+c)^2，

因为(a+b+c)^2≥0，当且仅当a+b+c=0时，等号成立。

所以3-(a+b+c)^2≤3，

所以当a+b+c=0时，(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2的最大值为3.