人人都能看懂的美妙证明！图解柏拉图多面体和欧拉公式

作者 | 大吴

来源 | 大小吴的数学课堂

1 柏拉图多面体

正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角。正多面体一共只有5个，最早由古希腊哲学家柏拉图发现，所以也称柏拉图多面体。

柏拉图认为世界由四古典元素组成，其形状如正多面体中的其中四个。

火的热让人感到尖锐和刺痛，好像小小的正四面体。

空气是用正八面体制成的，可以粗略感受到，它极细小的结合体十分顺滑。

当水放到人的手上，它会自然流出，那它就应该是由很多小球所组成，好像正二十面体。

土与其他的元素相异，因为它可以被堆栈，正如正六面体（正立方体）。

剩下没有用的正多面体——正十二面体，柏拉图以不清晰的语调写：“神使用正十二面体以整理整个天空旳星座。”柏拉图的学生亚里士多德添加了第五个元素——以太，并认为天空是用此组成，但他没有将以太和正十二面体联系。

2 欧拉公式

我们知道，空间中的多面体由顶点、面、棱组成，将它们的数量简记为、、，现在来研究一下三者之间的关系，列个表：

类型顶点数面数棱数计算正四面体6正六面体8612正八面体6812正十二面体201230正二十面体122030

我们发现，的值总是2，这是巧合吗？还是说这是正多面体满足的特有规律？

来看一个不规则多面体：

同样地，我们列表：

类型顶点数面数棱数计算不规则多面体161024

仍有，这似乎表明任意多面体的顶点数、面数、棱数都满足这个数量关系。

事实上，数学家欧拉证明了对于任意简单多面体，都有

这个恒等式成立，它被称之为多面体欧拉公式。

这里需要说明一下，所谓简单多面体指的是同胚于球面的多面体（同胚是一个拓扑学概念，你可以简单理解为如果在一个多面体内部吹气，它能膨胀变为一个球，那么可以认为它与球同胚）。

欧拉公式的完整形式是

这里的称为欧拉示性数，它是一个拓扑不变量，与空间体的性质有关，当为简单多面体时，有

3 证明

现在我们来研究一下为什么对于简单多面体都成立。

我们以正六面体（即正方体）为例，假设在正六面体中，有

在这里是一个未知数，我们的目标是证明是常数.

可以通过一些简单的变换证明多面体欧拉公式，具体操作如下：

3.1 去面

我们将正六面体进行“压缩”，使其变成上底面为小正方形的几何体。

注意到在这个过程中，并没有改变原来的顶点数、棱数、面数，因此仍有

这时再将其“拍扁”，使其成为一个二维图形。

在这个由三维向二维转化的过程中，最终的图形相比原来的几何体其面数是少了的（因为上下底面合并为了同一个面），记二维图形的面数为,则有

又因为顶点数、棱数不变，因此有

3.2 加棱

在完成了“去面”的操作后，其二维图形的俯视图如下：

这时我们在图形中加一条棱，图形就变成了如下：

加了这条棱之后，可以发现最上面的区域被一分为二，因此对于整个图形来说，其面数会加一，但又由于其棱数加一，有

因此仍有

可见，“加棱”的操作并不会使的值发生变化。

我们继续加棱，将其变为如下图形：

这个图形的的值仍与原来的图形一致。

3.3 擦边

我们接着对这个图形进行处理，擦除其中一条边，会有什么结果？

还是和刚才的分析方法相类似，在擦除一条边之后，其面数就会减一，又由于“擦边”使得棱数也减一，因此有

仍有

可见，"擦边"也不会使的值发生变化。

通过一系列“擦边”，图形会变化成一个“飞镖”的样子：

3.4 去角

接下来就是最神奇的一步，擦去这个图形中的某个角，看看会发生什么！

擦去一个角，其面数会减一，其棱数会少二，其顶点数会少一，即

因此对于

来说，其值仍然是不发生变化的！

即有

“擦角”仍然不会使的值改变，那我们就放心大胆地擦吧！

最终，图形会变为一条线段。

我们在初中就知道，线段是一个一维图形，只有两个端点一条线，因此有

所以

因此

至此，我们就证明了是一个常数，其值为，证明完毕。

4 小结

事实上，对于任意简单多面体，我们都可以通过上述去面、加棱、擦边、去角等一系列操作将其变为一条线段，这个过程从三维几何体到二维图形再到一维线段，我们把它称之为“降维”过程。所以，欧拉公式对于任意简单多面体都是成立的。

还记得开头提到的柏拉图多面体吗？我们同样可以用欧拉公式证明正多面体的个数是有限个的。即满足是正多面体的顶点数、面数、棱数（，，）只可能是

这五种情况。证明过程在这里就不赘述了，感兴趣的同学可以自行探究。

参考文献

[1]R·柯朗 H·罗宾. 什么是数学——对思想和方法的基本研究[M].复旦大学出版社，2012.

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《什么是数学》

对思想和方法的基本研究

作者：R·柯朗，H·罗宾

译者：左平，张饴慈

出版：复旦大学出版社

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